Сборник задач с решенениями по математике и физике

Двойка? Нет!
Графика
Начертательная геометрия
Практикум по решению задач
Конспект лекций черчение
Геометрическое черчение
Перспектива
ЕСКД - констр. документация
Инженерная графика
Элементарная математика
Кратные интегралы
Математический анализ
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Производная и диф. уравнения
Математика 2 курс
Функции и их графики
Математический анализ
ТФКП
Физика
Физические законы механики
Электричество. Магнетизм
Колебания. Волны
Ядерная физика Лекции
Атомная и ядерная физика
Электричество, электростатика
Магнетизм, индукция
Оптика волновая квантовая
Основы физики и ТОЭ
Молекулярная физика
Информатика
Архитектура ЭВМ
Пролог програмирование
Лекции Пролог
Учебник PHP
Информационные технологии
Web технологии
Интернет
Web безопасность
GPRS
Компьютерные сети
Локальные сети
Основы вычислит. систем
Вычислительные комплексы
Операционные системы
Windows 2000
Windows server 2003
Java учебник
Примеры Java
Базы данных
Язык PHP
Функции PHP A-C D-F
G-I J-M N-O P-R S-T U-Z
TurboPascal
ТКМ

Электротех. материалы

Лекции ТКМ

Электротехника
Общая электротехника
Электротехника
ТОЭ
Атомная энергетика
Реактор РБМК
Реактор ВВЭР
Реактор БН-600
Атомные станции
Юбилей Энергетики
Ядерное оружие
Готовые работы
Оформить заказ
Дипломные, курсовые
Купить контрольную
Контрольные, расчетные
Рефераты
Лабораторные работы
Курсовые расчеты
 

Примеры решения задач по высшей математике

 

Нахождение дифференциала функции

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

   Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$

Пределы функций нескольких переменных

Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ .

Пределы функций нескольких переменных  Множества $\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$

Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ .

Найдём дифференциал функции трёх переменных $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3.$

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

 Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Производные неявно заданной функции

 Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$

Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

Свойства градиента и производной по направлению

Пусть в $ \mathbb{R}^2$ задана функция $\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$

Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

Дифференциальное и интегральное исчисление

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Найдём интеграл $ \int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла

Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$

  Найдём интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\sin^5x\sqrt[3]{\cos x}\,dx.$

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx.$

Найдём интеграл $\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx.$

Интеграл произведения синусов и косинусов

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

пример

пример

задача
Методы интегрирования

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ ,

при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Вычислим площадь $ Q$ поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси $ Ox$ части линии $ y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси $ Ox$ .

Найдём площадь $ S$ ограниченной области, лежащей между осью $ Ox$ и линией $ y=x^3-x$ .

Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$

Вычисление длины плоской линии

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду) $\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали, проведённых к поверхности уровня функции $ f(x;y;z)=x^2+y^2+4z^2$ , проходящей через точку $ M_0(-2;1;-1)$ .

Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$

Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками $ y=x^3$ и $ y=x^5$

Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ .

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в плоскости $ xOy$ рассматривается линия $ y=\cos x$ на отрезке $ \bigl[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\bigr]$

Вычисление длины плоской линии

  Найдём уравнения касательной и нормали, проведённых к линии уровня $ C=3$ функции $ f(x;y)=2x^2y^3+xy^4$ в точке $ M_0(1;1)$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Вычисление длины плоской линии

Пусть линия на плоскости с полярными координатами $ (r;{\varphi})$ задана уравнением $ r=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ ($ a>0$ ).

Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $\displaystyle z=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9},$

Пусть поверхность $ S$ задана уравнением $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

Геометрические приложения определенного интеграла

Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

 

Интегрирование тригонометрических функций

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Не берётся интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\ln x}=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)+C$

Ещё один неберущийся интеграл: $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

Не берётся также интеграл $\displaystyle \int\frac{\sin x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Si}}\nolimits (x)+C.$

   Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов

Свойства несобственных интегралов первого рода

Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$

Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится.

Рассмотрим теперь несобственный интеграл $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$

Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$

Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y;z)=xy^2z+3x^2yz^3$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2+2xy$

Вычисление неберущихся интегралов

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx.$

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.
Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

 
Вычисление неопределенного интеграла

Вычисление неопределенного интеграла

$\displaystyle \int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}},$ $\displaystyle \int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx.$ $\displaystyle \int\frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}dx.$
$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$ $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$ $\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$
$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$ $ \int e^{x^2}x\,dx$ $\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx.$


Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

 

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$

Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Интеграл с переменным верхним пределом

Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$ найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Матрица Гессе

Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2}.$

 Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .

Ограничения функции на данное множество

Пусть функция $ f(x)=x_1^3+x^3_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ с переменными $ (x_1;x_2)$ .

Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ .

Открытые и замкнутые области

Связные множества
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$
Несобственные интегралы первого и второго рода

Частные производные

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :

Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

Равенство смешанных частных производных

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Вычислим частные производные функции двух переменных $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$

Частные производные высших порядков

Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$

Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

Определение первообразной и её свойства

Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ .

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$ на всей числовой оси $ \mathbb{R}$  -- на интервале $ (-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\frac{x^3}{3}$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .

 
Кратные интегралы

Комплексные числа

Действия с комплексными числами

Найти формулы sin2j и cos2j.

Извлечение корня из комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Тригонометрическая форма числа

Разложение многочлена на множители

Элементы комбинаторики

С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

В разложении  найти члены, содержащие хa, если k=3, p=2, n=8, a=9.

В разложении  найти члены, содержащие xg. т=9, g=6.

Конечные графы и сети

Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке.

Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел
Первообразная и производная

Операция умножения матриц

Даны матрицы А = , В = , С =  и число a = 2.

Определители ( детерминанты)

Даны матрицы А = , В = . 

Элементарные преобразования систем

Дана матрица А = ,

Определить совместность системы линейных уравнений:

 

 

Cвойства обратных матриц

Вычислить определитель

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы

 Определить ранг матрицы.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Решить систему уравнений:

Метод Крамера Найти решение системы уравнений:

Метод Гаусса Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

Линейная зависимость векторов

Линейные операции над векторами в координатах

Найти угол между векторами и , если .

Векторное произведение векторов

 Найти векторное произведение векторов и

Доказать, что векторы , и  компланарны.  

Смешанное произведение векторов

Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Уравнение плоскости в отрезках

Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

 Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0

Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5).

Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0.

Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.

Угол между прямыми на плоскости

Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Кривые второго порядка.

Гипербола

Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Парабола

На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Системы координат

Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А =

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .
Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы

Монотонные последовательности

Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {xn} =

Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

Бесконечно малые функции

Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

Найти предел

Найти предел

Некоторые замечательные пределы Найти предел

.

 

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) =  имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к..

 f(x) =

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей

Найти предел

 
Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда

Определенные интегралы

Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл

Криволинейные интегралы

Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .

Поверхностные интегралы второго рода.

Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

Теорема о вычетах

Найти вычет функции   относительно точки z = 2.

Таблица изображений некоторых функций

Для большинства функций изображение находится непосредственным интегрированием.

Найти изображение функции f(t) = sint.

Теоремы свертки и запаздывания

Найти изображение функции

Решить уравнение

  при x(0) = y(0) = 1

Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл

 

Криволинейные интегралы

Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .

Поверхностные интегралы второго рода.

Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

Формула Гаусса – Остроградского Найти формулу вычисления объема шара.

Основные трансцендентные функции

  Найти sin(1+2i).
Решение дифференциального уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Метод Лагранжа
Линейные дифференциальные уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Комплексные числа
Действия с комплексными числами Показательная и тригонометрическая форма комплексного числа
Матрицы
Операция умножения матриц Cвойства обратных матриц Базисный минор матрицы. Ранг матрицы Матричный метод решения систем линейных уравнений Метод Крамера
Векторная алгебра
Линейные операции над векторами Смешанное произведение векторов Уравнение плоскости в отрезках Системы координат
Предел функции
Монотонные последовательности Бесконечно малые функции Некоторые замечательные пределы Непрерывность функции в точке
Исследования функции
О формулах Френе Асимптоты Свойства эволюты

 

 

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции