Конспекты лекции примеры Векторная алгебра

Определение вектора

Операции над векторами

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Дифференциальное и интегральное исчисление

Определение Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c-- его диагональю

Теорема Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства: (свойство коммутативности операции сложения);

Разложение вектора по базису

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора

Бином Ньютона Сборник задач с решениями по физике, математике. Лекции

Линейная зависимость векторов

Искусство XVII века Автопортрет с Саскией на коленях Рембрандт Ван Рейн

Предложение Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима

Система координат и координаты вектора

Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку и возьмем произвольную точку . Радиус-вектором точки по отношению к точке называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор раскладывается по этому базису. Таким образом точке можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.

Проекции вектора

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость по параметру

Скалярное произведение

Теорема   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами , , то

Векторное произведение

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Смешанное произведение

Определение Смешанным произведением векторов a,b,c называется число .

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Пусть в правом ортонормированном базисе заданы векторы , , , . Цель данного раздела-- научиться определять, образуют ли векторы a,b,c базис, и, в случае положительного ответа на этот вопрос, научиться находить координаты вектора d в базисе a,b,c.