Математика лекции Непрерывность функций и точки разрыва

Определение непрерывности функции

Определение Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Примеры, упражнения

Решение дифференциального уравнения

Определение точек разрыва

Пример   Рассмотрим функцию ,

Пример   Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и  

Пример   Рассмотрим функцию , заданную равенством

Свойства функций, непрерывных в точке

Джованни Баттиста Тьеполо Росписи Большого зала палаццо Лабиа в Венеции

   Теорема Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке .

Предел функции Сборник задач с решениями по физике, математике. Лекции

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение

Замена переменных для интегралов любой кратности.

Пример   Рассмотрим функцию на отрезке .

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией

Равномерная непрерывность

Примеры, упражнения

Непрерывность обратной функции

Теорема Пусть  -- непрерывная монотонная функция, , . Тогда обратная к функция непрерывна на отрезке .

Гиперболические функции и ареа-функции

Гиперболическим синусом называется функция

Гиперболическим косинусом называется функция

Гиперболическим тангенсом называется функция

Гиперболическим котангенсом называется функция

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения

 

Другие главы электронного учебника "Математика в примерах и задачах"

Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения высших порядков

Ряды Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования функциональные и степенные Ряды Тейлора и Лорана Критерий и признаки Коши и Даламбера

Интегралы примеры решения задач определения Формула Остроградского – Грина