Линейные пространства уравнения Алгебраические структуры

Системы линейных уравнений

     Определение 15.1   Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Правило Крамера

Матрицы

Теорема (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное.

Пример   Решите систему уравнений

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Теорема Кронекера-Капелли

Однородная система уравнений

Векторная функция

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Искусство России Архитектура Красной площади

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

• Примеры
• Найдите общее решение системы уравнений
• Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Дифференциальные уравнения Сборник задач с решениями по физике, математике. Лекции

Алгебраические структуры

Группы

Пример

Кольца

Пример

Поля

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Базис и размерность пространства

 Теорема В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

Координаты векторов

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пример

Евклидово пространство

Определение   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.      

Пример

Аффинное -мерное пространство

Линейные преобразования

Определение и примеры

Пример

Упражнение Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой

Матрица линейного преобразования

Пример

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Собственные числа и собственные векторы

 Определение 19.3   Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Пример

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

 Теорема   Пусть собственные векторы преобразования соответствуют собственным числам , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов является линейно независимой.

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Теорема   Если матрица  -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.     

Пример   Приведите уравнение поверхности

Другие главы электронного учебника "Математика в примерах и задачах"

Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения высших порядков

Ряды Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования функциональные и степенные Ряды Тейлора и Лорана Критерий и признаки Коши и Даламбера

Интегралы примеры решения задач определения Формула Остроградского – Грина