Матрицы, Определение, обозначения и типы матриц

Определение, обозначения и типы матриц

Определение Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.       

Сложение матриц и умножение на число

Определение   Суммой матриц и размеров является матрица таких же размеров, у которой , , .         

Символ суммирования

Замечание   Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина.

Умножение матриц

Пример Даны матрицы , . Найдите произведения и .

Замечание Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).

Докажем дистрибутивность умножения

Искусство России Огюст де Монферран - Исаакиевский собор

Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.

Исследование функции Сборник задач с решениями по физике, математике. Лекции

Определители

Предложение   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .     

Предложение Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Пример

Формула  Гаусса –Остроградского

Алгоритм создания нулей в столбце

Обратная матрица

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .         

 Пример   Найдите обратную матрицу для матрицы .

Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.     

Пример   Матрица примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Теорема   Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда один из ее столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).    

 

Другие главы электронного учебника "Математика в примерах и задачах"

Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения высших порядков

Ряды Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования функциональные и степенные Ряды Тейлора и Лорана Критерий и признаки Коши и Даламбера

Интегралы примеры решения задач определения Формула Остроградского – Грина