Асимптоты графика функции примеры

Асимптоты графика функции

Пример 7.4 График функции $f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет при вертикальной асимптоты, так как -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при $x\to0$ и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция $g(x)=\dfrac{1}{x}$ -- имеет вертикальную асимптоту .

Рис.7.4.График функции $f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты

        Пример 7.5 Прямая не является вертикальной асимптотой графика функции $f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$ , поскольку здесь нельзя утверждать, что при $x\to0-$ или $x\to0+$ функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях $\vert x\vert$ значения $\vert f(x)\vert$ могут быть как угодно велики, однако при других малых $\vert x\vert$ функция обращается в 0: так, при $x=\pm\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi}$ ( $n\in\mathbb{N}$ ) значения функции равны $\dfrac{1}{x}$ и стремятся к бесконечности при $n\to\infty$ , а при всех вида $x=\pm\dfrac{1}{n\pi}$ ( $n\in\mathbb{N}$ ) значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки при увеличении попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция не является бесконечно большой при $x\to0\pm$ , и прямая -- не асимптота.

Рис.7.5.График функции $f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты

Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.
        Определение 7.2 Наклонной асимптотой графика функции при ${x\to+\infty}$ называется прямая , если выполнены два условия:
1) некоторый луч $(a;+\infty)$ целиком содержится в $\mathcal{D}(f)$ ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $x\to+\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции при $x\to-\infty$ называется прямая , если
1) некоторый луч $(-\infty;a)$ целиком содержится в $\mathcal{D}(f)$ ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $x\to-\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при $x\to+\infty$ и при $x\to-\infty$

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая $y=c=\mathrm{const}$ является горизонтальной асимптотой графика при $x\to+\infty$ или $x\to-\infty$ , если
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=с$
или
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=с$
соответственно.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции