Производные некоторых элементарных функций

  Пример 4.3   Найдём производную функции

При вычислим производную как производную произведения:

При производную вычислим по формуле, служащей определением производной:

поскольку получили предел произведения бесконечно малой величины и ограниченной величины . Итак, , однако это значение не является пределом при , то есть производная имеет при разрыв второго рода. Действительно, в выражении для при первое слагаемое стремится к 0 при , однако второе слагаемое не стремится ни к какому пределу при , совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.

Рис.4.5.Графики функции и её производной

Этот пример показывает, что производная, даже если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.