Основные задачи на прямую и плоскость Аналитическая геометрия

Следующие две задачи связаны с нахождением угла.
1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.
Угол ${\varphi}$ между прямыми-- это угол $\psi$ между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол $(\cos\psi>0)$ , или ${\varphi}=\pi-\psi$ , если $\psi$ -- тупой угол $(\cos\psi<0)$ . Во втором случае ${\cos{\varphi}=-\cos\psi=\vert\cos\psi\vert}$ .
Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы ${\bf p}_1$ и ${\bf p}_2$ прямых. Тогда
$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf p}_1{\bf p}_2}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert},$
а искомый угол ${\varphi}$ определяется из равенства
$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf p}_1{\bf p}_2\vert}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert}.$
2. Даны уравнение плоскости $\Pi$ и уравнения прямой ${\gamma}$ . Требуется найти угол ${\varphi}$ между прямой и плоскостью.
По определению, угол между прямой и плоскостью-- это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 11.12).

Рис.11.12. ${\varphi}$ -- угол между прямой и плоскостью

Пусть $\psi$ -- угол между нормальным вектором n плоскости $\Pi$ и направляющим вектором p прямой ${\gamma}$ . Тогда либо ${{\varphi}=\frac{\pi}2 -\psi}$ (рис. 11.12), либо ${{\varphi}=\psi-\frac{\pi}2}$ (рис. 11.13).

Рис.11.13. ${\varphi}$ -- угол между прямой и плоскостью

В обоих случаях $\sin{\varphi}=\vert\cos\psi\vert$ , а так как $\cos\psi=\frac{{\bf n}{\bf p}} {\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}$ , то
$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}{\bf p}\vert}{\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}.$

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции