Конспект лекций начертательная геометрия

[на первую страницу раздела]

В зависимости от вида и взаимного расположения линии и поверхности точек их пересечения может быть одна или несколько. Например, прямая линия с алгебраической поверхностью n-го порядка пересекается в n точках. В основу их построения положен способ вспомогательных поверхностей, сущность которого состоит в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, принадлежащих вспомогательной поверхности.
Рис. 4.26

Одна из них является заданной линией, а вторая - линией пересечения вспомогательной и заданной поверхностей.
В соответствии с этим построение точек пересечения линии l и поверхности Ф (независимо от их вида) осуществляется по следующей общей схеме (рис. 4.26):
1. Через данную линию l проводим вспомогательную
поверхность .
2. Определяем линию m пересечения вспомогательной и заданной Ф поверхностей.
3. Отмечаем точку А пересечения линий l и m, которая и является искомой.
В символической записи схема имеет вид:
1) проводим l;
2) определяем m = Ф;
3) отмечаем А = l m = l Ф.

Примечание.

Поскольку линии l и m принадлежат одной и той же вспомогательной поверхности, они могут пересекаться, касаться и не иметь общих точек. В первом случае линия l пересекается с поверхностью Ф, во втором - касается ее, в третьем - не имеет с ней общих точек.

Рис. 4.27

Схема преобразуется в алгоритм, если конкретизировать первый пункт, т. е. точно указать вид и положение вспомогательной поверхности, которая выбирается для определения точек пересечения заданных линии и поверхности. Только после составления алгоритма можно перейти к решению (построению) задачи на комплексном чертеже. Например, для определения точки К (рис. 4.27) пересечения пространственной кривой l и плоскости Г(АВС) общего положения алгоритм имеет вид (рис. 4.27, a):
1) через кривую l провести фронтально проецирующую цилиндрическую поверхность Ф(Ф l, Ф П₂); l - направляющая цилиндрической поверхности;
2) определить линию m пересечения плоскости Г(АВС) и поверхности Ф(m = Ф Г);
3) отметить точку К пересечения линий l и m, которая является искомой (k = l m = l Г).
Графическая реализация алгоритма, т. е. построение проекций точки К на комплексном чертеже, показана на рис. 4.27, б. Фронтальная проекция Ф₂ вспомогательной цилиндрической поверхности совпадает с фронтальной проекцией l₂ линии l(Ф₂ = l₂). Фронтальная проекция m₂ линии m совпадает с фронтальной проекцией Ф₂ вспомогательной поверхности (m₂ = Ф₂), ее горизонтальная проекция m₁ найдена на основании принадлежности ряда точек (1,2,3,4) линии m плоскости Г(АВС). Дальнейшее построение ясно из чертежа.
В качестве вспомогательных поверхностей наиболее часто применяются плоскости (общего и частного положения) и проецирующие цилиндрические поверхности. Выбор вида и положения вспомогательной поверхности определяется главным образом следующими соображениями:
1. Видом заданной линии l. Если линия l - пространственная кривая, то в качестве вспомогательной должна быть выбрана проецирующая цилиндрическая поверхность, для которой l является направляющей (рис. 4.27). Если l - кривая плоская, то в качестве вспомогательной может быть использована проецирующая цилиндрическая поверхность или плоскость, которой принадлежит данная кривая. И, наконец, если l - прямая линия, то в качестве вспомогательной поверхности выбирается плоскость.
2. Требованием простоты и точности построения на комплексном чертеже. Для выполнения зтого требования вспомогательную поверхность следует по возможности выбирать так, чтобы проекции линии ее пересечения с заданной поверхностью были графически простыми линиями, т. е. прямолинейными отрезками или дугами окружности (рис. 4.28 - 4.33). Иногда для выполнения этого условия приходится прибегать к преобразованию комплексного чертежа (рис. 4.34).
Ниже рассматриваются примеры решения типовых задач на определение точек пересечения прямой линии и поверхности.
Алгоритмы их решения составлены в соответствии с общей схемой решения первой позиционной задачи, рассмотренной выше.
Задача 1. Определение точки пересечения прямой линии общего положения с плоскостью общего положения.
При определении точки К пересечения прямой l общего положения с плоскостью Г(ABC) общего положения (рис. 4.28) в качестве вспомогательной поверхности должна быть применена какая-либо проецирующая плоскость. Выберем, например, горизонтально проецирующую плоскость и составим алгоритм решения (рис 4.28 а).
Рис. 4.28

1) l, П₁, т. е. через прямую l проводим горизонтально проецирующую плоскость ;
2) (1,2) = Г , т. е. определяем линию (1,2) пересечения плоскостей Г и ;
3) K = (1,2) l, т. е. отмечаем точку К пересечения линий (1, 2) и l, которая и является искомой.
Построение.
На рис. 4.28, б дана графическая реализация этого алгоритма. Проведена плоскость l; на чертеже l₁ = ₁. Найдены фронтальная (1₂,2₂) и горизонтальная (1₁,2₁) проекции линии (1,2) = Г . Точка К₂ = l₂ (1₂,2₂) является фронтальной проекцией искомой точки К. Ее горизонтальная проекция К₁ l₁ определяется по линии связи.
Считая, что заданная плоскость Г(ABC) непрозрачна, определили видимость проекций прямой l при помощи конкурирующих точек . Видимость прямой изменяется на обратную в точке пересечения ее с плоскостью. Определение видимости производится отдельно для каждой проекции.
Так, видимость горизонтальной проекции прямой l определяется при помощи горизонтально конкурирующих точек 1 и 3, принадлежащих скрещивающимся прямым l и (AС). Так как точка 1 выше точки 3 (на что указывает расположение их форонтальных проекций), то прямая l расположена под АС. Следовательно, горизонтальная проекция l₁ слева от точки К₁ невидима (вычерчивается штриховой линией), а справа от нее видима.
Для фронтальной проекции видимость линии пересечения определялась с помощью двух фронтально конкурирующих точек (на чертеже не показано).
Рассмотренный алгоритм применим для решения любых задач на пересечение прямой с плоскостью общего положения.
3адача 2. Определение точек пересечения прямой линии с поверхностью многогранника.
Решение этой задачи сводится к определению точек пересечения прямой с гранями многогранника и выполняется по алгоритму, аналогичному предыдущему.
Определение точек М и N пересечения прямой l с поверхностью призмы Ф показано на рис. 4_29.
Рис. 4.29

Алгоритм:
1) l, П₁(может быть выбрана П₂);
2) (1 - 2 - 3) = Ф ;
3) М = (1 - 2 - 3) l = Ф l, N = (1 - 2 - 3) l = Ф l.
Построение.
Проводим через прямую l горизонтально проецирующую плоскость ; на чертеже l₁ = ₁. Находим горизонтальную и фронтальную проекции замкнутой ломаной (1 - 2 - 3) пересечения плоскости и поверхности призмы Ф.
Отмечаем М₂ = (1₂ - 2₂ - 3₂) l₂ и N₂ = (1 - 2 - 3) l₂ и по линиям связи находим М₁ l₁ и N₁ l₁. Поверхность многогранника считается непрозрачной. Видимость проекций прямой l относительно плоскостей проекций определяется по видимости граней.
Рассмотренный алгоритм применим для определения точек пересечения прямой с любым многогранником.

Задача 3 . Определение точек пересечения прямой линии с поверхностью конуса.
а) В задаче (рис. 4.30) требуется определить точки М и N пересечения горизонтали h с поверхностью конуса вращения Ф. В данном случае целесообразно через прямую h провести горизонтальную плоскость уровня Г, так как такая плоскость пересечет поверхность конуса по параллели m, которая спроецируется на П₁ без искажения.
Рис. 4.30

Алгоритм:
1) Г h, Г П₁;
2) m = Ф Г;
3) М = m h; N = m h.
Графическая реализация алгоритма понятна из чертежа.
б) В задаче (рис. 4.31) требуется определить точки М и N пересечения прямой l общего положения с поверхностью Ф эллиптического конуса. Применение в качестве вспомогательной проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.
Рис. 4.31

Плоскость же общего положения, проходящая через вершину конуса и прямую l, пересечет его по образующим.
Алгоритм:
1) (l m); S, так как m S;
2) Ф = S4 и S5;
3) М = (S5) l = Ф l; N = (S4) l = Ф l.
Построение.
Реализация алгоритма показана на рис. 4.31, б. Для определения образующих S4 и S5, по которым плоскость пересекает поверхность Ф конуса, предварительно построена линия 2 - 3 пересечения плоскости с плоскостью основания конуса. Найдены горизонтальные проекции 4₁ и 5₁ точек 4 и 5 пересечения прямой (2 - 3) с окружностью основания конуса, построены горизонтальные проекции (К₁4₁) и (S₁5₁) образующих (S4) и (S5), и найдены проекции М₁ и N₁ а затем по линиям связи - проекции М₂ и N₂ точек М и N.
Задача 4. Определение точек пересечения прямой линии с поверхностью Ф эллиптического цилиндра.
При составлении алгоритма решения задачи на определение точек М и N пересечения прямой l с поверхностью Ф эллиптического цилиндра (рис. 4.32) в качестве вспомогательной следует выбрать плоскость, проходящую через прямую l и параллельную образующим цилиндра, которая пересечет его поверхность по образующим.
Рис. 4.32

Алгоритм: 1) (l m), m параллельна образующим цилиндра, следовательно, параллельна образующим;
2) Ф = n(4 - 4' - 5' - 5);
3) l (4 - 4') = N и l (5 - 5') = М.
Построение.
Решение задачи на чертеже дано нд рис. 4.32, 6. Все построения аналогичны построениям задачи 3.

Задача 5.
Определение точек пересечения прямой линии и сферы.
а) В задаче, приведенной на рис. 4.33, требуется определить точки М и N пересечения сферы с фронталью.
Рис. 4.33

В качестве вспомогательной целесообразно применить фронтальную плоскость уровня
. f, так как окружность m сечения сферы этой плоскостью спроецируется на П₂ без искажения.
Алгоритм:
1) f, П₂;
2) m =
3) M = m f и N = m f.
Построение.
Проведена П₃ - на чертеже f₁ = ₁. Построена фронтальная проекция m₂ линии m = . Определены М₂ = m₂ f₂ и N₂ = m₂ f₂; по линиям связи найдены М₁ f₁ и N₁. f₁
б) В задаче, приведенной на рис. 4.34, требуется построить точки М и N пересечения сферы Ф с прямой (АВ) общего положения. В качестве вспомогательной применена горизонтально проецирующая плоскость (АВ). Окружность сечения сферы этой плоскостью спроецируется на П₂ в эллипс.
Рис. 4.34

Для избежания построения эллипса плоскость преобразована в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций. На П₄ линия сечения спроецируется в окружность, т. е. в системе плоскостей П₁/П₄ задача аналогична предыдущей. Сначала найдены проекции М₄ и N₄ искомых точек М и Х, а затем обратным преобразованием - М₁, N₁ и М₂, N₂.