3.1. Материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело - простейшие физические модели

3.1.1. Материальная точка

Материальная точка - это одна из простейших физических моделей (1.3).

реальный мир		исследователь		модельный мир

Тело из реального мира (см. рис.) иногда можно без ущерба для решаемой задачи заменить точкой в модельном мире, сохранив из всех многообразных свойств этого тела лишь два: положение в пространстве и массу. Эти две характеристики легко описать языком физики (1.4). Массу задают числом. Положение - координатами в выбранной системе координат (3.4.1).

Традиционное определение материальной точки: это тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Здесь вместе присутствуют понятия, описывающие и реальный мир, и модельный мир.

3.1.2. Система материальных точек
Если решается задача о движении нескольких материальных тел и каждое из них можно в условии данной задачи заменить материальной точкой, то моделью этой системы (1.3) будет система материальных точек.

Пример:

реальный мир		исследователь		модельный мир

3.1.3. Абсолютно твердое тело

Существуют такие задачи, в которых размерами тела нельзя пренебречь, но, в то же время, можно не учитывать изменение со временем размеров, формы тела. При решении таких задач используют модель - абсолютно твердое тело, т.е. реальное тело заменяют таким, у которого размеры и форма не меняются.

3.2. Тело отсчета

Тело отсчета - это тело, относительно которого определяют положение рассматриваемого нами тела или системы тел.

3.3. Система отсчета

Это система координат, связанная с телом отсчета (3.2) и выбранный способ измерения времени (часы).

реальный мир		исследователь		модельный мир

В реальном трехмерном мире система отсчета - это набор масштабных стержней (или линеек) и часы, расположенные в разных местах этих линеек. В модельном мире система отсчета превращается в трехмерную систему координат, положение которой связано с положением тела отсчета. В каждой точке пространства существует возможность определить время любого происшедшего в этой точке события.

3.4. Положение материальной точки в пространстве

3.4.1. Координаты точки

Первый способ задать положение материальной точки - это задать ее координаты. Например, три числа x_А, y_А, z_А задают положение точки A в декартовой системе координат.

3.4.2.1. Компоненты радиус-вектора

На плоскости:

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

3.4.2.2. Модуль радиус-вектора

     - по теореме Пифагора.

3.6. Путь - длина отрезка траектории (3.5) .

3.7. Перемещение - вектор, проведенный из начального положения (3.4.1), (3.4.2) материальной точки (3.1.1) в ее конечное положение.

либо, применяя другое обозначение производной по времени,

Так как , то направление вектора совпадает с предельным направлением вектора . На рис. а), б), в) показаны этапы предельного перехода для плоского движения (для простоты иллюстрации):

а)

Как известно из геометрии, касательная есть предельное положение секущей.

в)

3.8.2. Компоненты скорости

На следующем рисунке изображен вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

Так как .

С другой стороны: ,

откуда ,       так же и       ,

т.е. компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

3.8.3. Модуль скорости - производная пути по времени.

.

3.9. Вычисление пройденного пути

Для равномерного движения ,      - весь путь,       - весь отрезок времени,       - const.

.

,

3.10. Ускорение - это производная скорости по времени.

      или      

3.10.1. Нормальное и тангенциальное ускорение

Направим единичный вектор     вдоль вектора скорости:

Первый член, нормальное ускорение,

Второй, тангенциальное ускорение,

Направление и величину нормального ускорения найдем для частного случая равномерного движения материальной точки по окружности:

.

.

.

.

.